6 функций денег таблица. Функции сложных процентов в оценке доходной собственности

Для определения стоимости инвестиционного проекта или собственности необходимо определить текущую стоимость денег, которые будут получены через некоторое время в будущем. В условиях инфляции деньги изменяют свою стоимость с течением времени. Основными операциями, позволяющими сопоставить разновременные деньги являются операции накопления (наращивания) и дисконтирования.

Накопление – это процесс приведения текущей стоимости денег к их будущей стоимости при условии, что вложенная сумма будет находиться на счету в течение определенного времени, принося периодически накапливаемый процент.

Дисконтирование – процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.

1 функция. Определим будущую стоимость денежной единицы (накопленная сумма денежных единиц)

FV - будущая стоимость денежной единицы,

PV – текущая стоимость денежной единицы,

i – ставка дохода,

n – число периодов накопления в годах.

Задача. Определить какая сумма будет накоплена на счете к концу 3 года, если сегодня положить на счет под 10 % годовых 10 тыс. руб.

2 функция. Текущая стоимость денежной единицы (текущая стоимость реверсии перепродажи)

Задача . Сколько нужно вложить сегодня в инвестиционный проект, чтобы к концу 5 года получить 8 тыс.руб. Ставка дохода 10%.

3 функция. Определение текущей стоимости аннуитета.

Аннуитет – это серия равновеликих платежей (поступлений), отстоящих друг от друга на один и тот же промежуток времени.

Выделяют обычный и авансовый аннуитет. Если платежи осуществляют в конце каждого периода, то аннуитет обычный; если вначале – авансовый.

Формула текущей стоимости обычного аннуитета:

PMT – равновеликие периодические платежи.

Задача. Договор аренды дачи составлен на 1 год. Платежи осуществляются ежемесячно по 1 тыс.руб. Определить текущую стоимость арендных платежей при 12% ставке дисконтирования. n = 12 (число периодов – месяцев).

4 функция. Накопление денежной единицы за период. В результате использования данной функции определяется будущая стоимость серии равновеликих периодических платежей или поступлений.

Задача . Определить сумму, которая будет накоплена на счете, приносящем 12% годовых, к концу 5 года, если ежегодно откладывать на счет 10 тыс.руб.

5 функция. Взнос на амортизацию денежной единицы.

Данная функция является обратной величиной текущей стоимости обычного аннуитета.

Амортизация – это процесс, определяемый данной функцией, и включает проценты по кредиту и оплату основной суммы долга.

Задача. Определить, какими должны быть ежегодные платежи, чтобы к концу 7 года погасить кредит 100 000 руб., выданный под 15% годовых.

Аннуитет может быть как поступлением (входящим денежным потоком), так и платежом (исходящим денежным потоком), по отношению к инвестору. Поэтому данная функция может быть использована в случае расчета величины равновеликого взноса на погашение кредита при известном числе взносов и заданной процентной ставке. Такой кредит называется самоамортизирующийся кредит .

6 функция. Рассматривает фактор фонда размещения и является обратной функции накопления единицы за период.

Для определения величины платежа используется следующая формула:

Задача . Определить, какими должны быть платежи, чтобы к концу 5 года иметь на счете при ставке 12% годовых 100 000 руб.

Итак, для определения стоимости собственности, приносящей до ход, необходимо определить текущую стоимость денег, которые будут получены через какоето время в будущем.

Известно, а в условиях инфляции куда более очевидно, что деньги изменяют свою стоимость с течением времени. Основными операциями, позволяющими сопоставить разновременные деньги, являются операции накопления (наращивания) и дисконтирования.

Накопление – это процесс приведения текущей стоимости денег к их будущей стоимости, при условии, что вложенная сумма удерживается на счету в течение определенного времени, принося периодически нака пливаемый процент.

Дисконтирование – это процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.

В оценке эти финансовые расчеты базируются на сложном процессе, когда каждое последующее начисление ставки процента осуществля ется как на основную сумму, так и на начисленные за предыдущие периоды невыплаченные проценты.

Всего рассматривают шесть функций денежной единицы, основанных на сложном проценте. Для упрощения расчетов разработаны таблицы шести функций для известных ставок дохода и периода накопления (I и n), кроме того, можно воспользоваться финансовым калькуля тором для расчета искомой величины.

1 функция: Будущая стоимость денежной единицы (накопленная сумма денежной единицы), (fvf , i , n).

Если начисления осуществляются чаще, чем один раз в год, то формула преобразуется в следующую:

k – частота накоплений в год.

Данная функция используется в том случае, когда известна текущая стоимость денег и необходимо определить будущую стоимость де нежной единицы при известной ставке доходов на конец определенного периода (n).

Занятия Форекс - это чудесная для Тебя подготовиться к успешной работе на международном валютном рынке Форекс!

Правило 72х

Для примерного определения срока удвоения капитала (в годах) необходимо 72 разделить на целочисленное значение годовой ставки до хода на капитал. Правило действует для ставок от 3 до 18%.

Типичным примером для будущей стоимости денежной единицы может служить задача.

Определить, какая сумма будет накоплена на счете к концу 3го

года, если сегодня положить на счет, приносящий 10% годовых, 10 000

FV=10000[(1+0,1) 3 ]=13310.

2 функция : Текущая стоимость единицы (текущая стоимость реверсии (перепродажи)), (pvf , i , n).

Текущая стоимость единицы является обратной относительно бу дущей стоимости.

Если начисление процентов осуществляется чаще, чем один раз в год, то

Примером задачи может служить следующая: Сколько нужно вложить сегодня, чтобы к концу 5го года получить на счете 8000, если годовая ставка дохода 10%.

3 функция : Текущая стоимость аннуитета (pvaf , i , n).

Аннуитет – это серия равновеликих платежей (поступлений), отстоящих друг от друга на один и тот же промежуток времени.

Выделяют обычный и авансовый аннуитеты. Если платежи осуще ствляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале – авансовый.

Формула текущей стоимости обычного аннуитета:

PMT – равновеликие периодические платежи. Если частота начислений превышает 1 раз в год, то

Формула текущей стоимости авансового аннуитета:

Типовой пример:

Договор аренды дачи составлен на 1 год. Платежи осуществляются ежемесячно по 1000 рублей. Определить текущую стоимость аренд ных платежей при 12% ставке дисконтирования, если а) платежи осуществляются в конце месяца; б) платежи осуществляются в начале каждого месяца.

4 функция : Накопление денежной единицы за период (fvfa , i , n).

В результате использования данной функции определяется буду щая стоимость серии равновеликих периодических платежей (поступле ний).

Платежи также могут осуществляться в начале и в конце периода.

Формула обычного аннуитета:

Типовой пример:

Определить сумму, которая будет накоплена на счете, приносящем 12% годовых, к концу 5го года, если ежегодно откладывать на счет 10 000 рублей а) в конце каждого года; б) в начале каждого года.

5 функция : Взнос на амортизацию денежной единицы (iaof , i , n) Функция является обратной величиной текущей стоимости обыч ного аннуитета. Взнос на амортизацию денежной единицы используется для определения величины аннуитетного платежа в счет погашения кредита, выданного на определенный период при заданной ставке по креди ту.

Амортизация – это процесс, определяемый данной функцией, включает проценты по кредиту и оплату основной суммы долга.

При платежах, осуществляемых чаще, чем 1 раз в год используется следующая формула:

Примером может служить следующая задача: Определить, каким должны быть платежи, чтобы к концу 7го года погасить кредит в 100 000 рублей, выданный под 15% годовых.

6 функция : Фактор фонда возмещения (sff , i , n)

Данная функция обратна функции накопления единицы за период. Фактор фонда возмещения показывает аннуитетный платеж, который необходимо депонировать под заданный процент в конце каждого пе риода для того, чтобы через заданное число периодов получить искомую сумму.

Для определения величины платежа используется формула:

При платежах (поступлениях), осуществляемых чаще, чем 1 раз в год:

Примером может служить задача.

Определить, какими должны быть платежи, чтобы к концу 5го го да иметь на счете, приносящем 12% годовых, 100 000 рублей. Платежи осуществляются в конце каждого года.

Аннуитетный платеж, определяемый данной функцией, включает выплату основной суммы без выплат процента.

Л.О. Григорьева

Управление инвестициями

Учебный модуль

Улан-Удэ

Издательство ВСГТУ

Тема 1. Инвестиции. Сущность инвестиционного процесса

Шесть функций сложного процента

Первая функция сложного процента – это фактор будущей стоимости текущего (сегодняшнего) капитала.

FV – это будущая стоимость текущего капитала (future value);

PV – текущая стоимость капитала (present value);

i – ставка процента;

n – количество периодов.

В каких случаях используется формула сложного процента:

Мы имеем какую-то сумму денег. Мы хотим положить ее в банк под определенный процент, на определенный срок (год, месяц, квартал). При этом мы хотим знать: сколько будут стоить наши деньги в конце срока вклада.

Пример. Допустим у нас есть 1 руб. и мы кладем его в начале года в банк, под 10% годовых на 5 лет. Сколько будет стоить этот руб. через 5 лет?

FV = 1 руб.*(1+10%) 5 = 1,61 руб.

Пример . Вы положили деньги в банк 1000 руб. под 24% годовых на 1 год. Аккумулирование (т.е. начисление %) происходит два раза в год по фиксированной годовой ставке. Надо определить периодическую ставку (i p), будущую стоимость текущего капитала (FV), величину дохода на капитал (Д) и фактическую годовую ставку (i ф).

Определим периодическую ставку, в данном случае – полугодовую: i p = i г /2 = 24% /2 =12%

Определим будущую стоимость текущего капитала: FV =1000(1+0,12) 2 = 1254,4 руб.

Определим величину дохода на капитал: Д = FV – PV = 1254,4 – 1000 = 254,4 руб.

Определим фактическую годовую ставку: i ф = (FV–PV)/PV=(1254,4–1000)/1000=0,2544=25%

Фактическая ставка включает начисленные сложные проценты, поэтому она всегда больше, чем номинальная ставка. Кроме того, чем больше периодов начисления процентов в году, тем эта разница будет существеннее.

Пример . Через сколько лет произойдет удвоение капитала, если известно, что годовая номинальная ставка, под которую положили деньги в банк равна 12%?

Решение этой задачки основано на использовании так называемого «правила 72-х». Согласно этому правилу, количество лет, через которое произойдет удвоение вложенной суммы, определяется по формуле: 72 / номинальная годовая ставка %

72 / 12% = 6 лет.

Правило дает удовлетворительный ответ при ставке, находящейся в диапазоне от 3 до 18%.

Вторая функция сложного процента – фактор будущей стоимости аннуитета.

Она предназначена для определения будущей стоимости равновеликих накоплений капитала за определенное число периодов, т.е. когда мы, например, будем вкладывать одну и ту же суму денег (РМТ) в течение какого-то времени(1,2,3 года и т.п.).

РМТ (payment ) – единовременный платеж в периоде k. (периоды одинаковые).

Серия таких платежей называется аннуитетом .

Различают обычный и авансовый аннуитет .

Будущая стоимость обычного аннуитета (платежи в конце каждого периода). Его будущая стоимость выражается в формуле:

Пример . Чтобы накопить себе на автомобиль, вы решили откладывать в банк по 1000 $ каждый год при 12% годовых в течение 5 лет. Как лучше откладывать деньги (в конце или в начале года), чтобы получить через 5 лет большую сумму и сколько денег окажется на вашем счете через 5 лет?

Определим, сначала, сколько денег мы получим через 5 лет, если будем откладывать в конце каждого года:

Таким образом, получается, что вкладывать в начале каждого года гораздо выгоднее, чем в конце.

Третья функция сложного процента – фактор фонда возмещения.

Фактор фонда возмещения – это величина платежа, который необходимо депонировать (вкладывать) в каждом периоде при заданной ставке годового процента, чтобы в последнем периоде получить на счете определенную (желаемую) сумму. Т.е. допустим, мы хотим получить 1 миллион рублей через пять лет. Для этого можно положить деньги в банк. Нам известна величина банковского процента. Фактор фонда возмещения (ФФВ) определяет величину периодических равновеликих платежей, которые нам придется платить эти 5 лет. То есть ФФВ - это то же РМТ.

Различают Фактор Фонда Обычного Возмещения и Фактор Фонда Авансового Возмещения, в зависимости от того, когда (в конце или начале периода) производятся платежи.

Фактор Фонда Обычного Возмещения (платежи в конце каждого периода):

2-я и 3-я функции сложного процента взаимосвязаны между собой через формулы. 2-я функция – это определение FV, а 3-я – это определение PV.

Пример . Вы взяли у своего знакомого в долг и через 5 лет должны вернуть 1000$. Чтобы проще было расплатиться с долгами, вы решили откладывать деньги в банк каждый год. Банковская ставка также равна 15% годовых. Как выгоднее депонировать деньги – в начале года или в конце года? Какую сумму вы должны депонировать в банке, чтобы в конце 5-го года выплатить эту 1000$?

1. Фактор Фонда Обычного Возмещения:

1. Фактор Фонда Авансового Возмещения:

2. Фактор Фонда Авансового Возмещения:

Каждый месяц вам выгоднее откладывать по 111,5 $.

Четвертая функция сложного процента – фактор текущей стоимости будущего капитала.

Текущая стоимость будущего капитала – это сегодняшняя стоимость капитала, который должен быть получен в будущем. Математически выразить текущую стоимость будущего капитала можно следующим образом:

PV = FV /(1+i) n (1.9)

Как вы заметили 4-я и 1-я функция сложного процента взаимосвязаны между собой одной формулой. 1-я функция определяет будущую стоимость текущего капитала.

Пример. Вы решили накопить 12000$. Эта сумма понадобится вам через 4 года. Сколько денег сегодня вы должны положить в банк под 10% годовых, чтобы через 4 года получить 12000$.

PV = 12000$ /(1+10%) 4 = 8196 $

Пятая функция сложного процента – фактор текущей стоимости аннуитета.

5-я функция предназначена для определения текущей стоимости (PV) равновеликих накоплений капитала за определенное число периодов, т.е. когда мы, например, будем вкладывать одну и ту же сумму денег (РМТ) в течение какого-то времени (1,2,3 года и т.д.) при известной норме прибыли (i ).

В этом смысле, 5-я функция несколько похожа на 2-ю функцию сложного процента, с той лишь разницей, что 2-я определяет FV.

Различают фактор текущей стоимости Обычного аннуитета (платежи в конце каждого периода) и Авансового Аннуитета (платежи в начале каждого периода).

Текущая стоимость обычного аннуитета:

2. Если платежи будут производится в начале каждого года:

Авансовый взнос на амортизацию (платежи в начале периода):

2. Если платежи в начале года:

Контрольные вопросы

1. Охарактеризуйте понятие инвестиций, приведите варианты их классификации.

2. В чем заключаются основные отличия между инвестициями и капитальными вложениями?

3. Что представляет собой инвестиционная деятельность, и из каких этапов она состоит?

4. Какие субъекты инвестиционной деятельности можно выделить? Их отличия и основные характеристики?

5. Объекты инвестиционной деятельности, их отличия и основные характеристики.

6. Реципиент, как субъект инвестиционной деятельности?

7. Какова структура инвестиционного рынка?

8. Какова структура инвестиционного рынка в России? Перечислить и охарактеризовать его составляющие.

1.1. Какие из приведенных ниже вложений в большинстве случаев не относятся к инвестициям?

а) приобретение иностранной валюты;

б) вложения в облигации на вторичном рынке;

в) вложения в депозитные сертификаты;

г) лизинговое финансирование;

д) вложения в акции на первичном рынке.

1.2. Основными целями инвестирования являются:

а) получение прибыли;

б) достижение социального эффекта;

в) накопление капитала

1.1. Прямые инвестиции предполагают:

а) привлечение финансовых посредников к реализации инвестиционных проектов;

б) использование внутренних источников финансирования инвестиций;

в) непосредственное участие инвестора в выборе объектов инвестирования и вложения капитала.

1.2. Какой из перечисленных ниже субъектов экономики не является участником (исполнителем) инвестиционной деятельности?

а) инвестор;

б) исполнитель;

в) проектировщик;

г) подрядчик;

д) страховое общество.

1.3. В какой сфере протекает инвестиционная деятельность?

б) обращения;

в) материального производства;

г) нематериального производства.

1.4. Инвестиционная деятельность коммерческих банков в сфере реального инвестирования имеет следующие формы:

а) инвестиционное кредитование;

б) инвестирование в ценные бумаги;

в) проектное финансирование;

г) долевое участие.

1.7. Какие из приведенных ниже элементов относятся к материальным элементам инвестиций?

а) коммуникации;

б) природные ресурсы;

в) вложения в человеческий капитал;

г) ценные бумаги;

д) патенты, лицензии.

1.8. Что лежит в основе деления инвестиций на реальные, финансовые и инвестиции в нематериальные активы?

а) объекты вложения инвестиций;

б) воспроизводственные формы;

в) стадии инвестиционного процесса;

г)субъекты инвестиционной деятельности.

1.9. Концепцию инвестиционного мультипликатора разработал:

а) Р.Ф. Кан;

б) Самуэльсон;

в) Дж. М. Кейнс.

1.10. Инвестиции в нематериальные активы - это:

а) вложения в торговые марки, товарные знаки, авторские права и т.д.;

б) затраты на приобретение объектов природопользования;

в) вложения в оборотные средства предприятия.

Задачи для практических занятий

Задача 1.1.

Рассчитайте ежегодный взнос для оплаты квартиры стоимостью 800 тыс. руб., купленной в рассрочку на 10 лет под 12%.

Задача 1.2.

Рассчитайте ежегодный взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 800 тыс. руб.

Задача 1.3.

Рассчитайте взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 800 тыс. руб.

Задача 1.4.

Квартира продана за 800 тыс. руб., деньги приносят 12% годового дохода. Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет?

Задача 1.5.

Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет, если ежегодно откладывать по 80 тыс. руб. под 12%?

Задача 1.6.

Сколько стоила квартира, купленная в рассрочку на 10 лет под 12% годовых, если ежегодный взнос составляет 80 тыс. руб.?

Во время проведения разного рода финансовых расчетов нередко приходится решать задачи как по формированию денежных потоков с заданными характеристиками, так и по определению их стоимости. Чтобы облегчить такие расчеты, стандартизировать их, используют специальные функции сложного процента, отражающие изменения в стоимости денежной единицы за определенный период времени.

1. Накопленная сумма единицы

Где P – начальная сумма

Пример: получен кредит 800 000,00 руб. сроком на 3 года под 14% годовых с начислением процентов раз в полгода. Необходимо вычислить сумму, которая полежит возврату.
Решение:

2. Накопление единицы за период.

Определяет, насколько возрос сберегательный счет, предполагающий регулярные платежи со стороны вкладчика, на который по истечении каждого периода начислялись проценты.

Где М – размер регулярного платежа.

Пример: необходимо определить будущую стоимость производимых регулярно ежемесячных платежей в размере 1 500,00 руб. в течение 3 лет при ставке 15% и ежемесячном накоплении.
Решение:

3. Фактор фонда возмещения.

Показывает размер взноса, которую необходимо периодически вносить на депозит, чтобы к наступлению определенного времени накопить с помощью сложного процента желаемую сумму.

Пример: определить размер ежемесячного взноса в банк при фиксированной процентной ставке 15% годовых для приобретения квартиры стоимостью 1 000 000,00 через 6 лет.
Решение:

4. Текущая стоимость единицы.

Показывает текущую стоимость суммы, полученной единовременно в будущем.

Пример : какой является текущая стоимость 20 000,00 рублей, которые будут получены по истечении 4-го года при 15% годовых и при годовом начислении процента.
Решение:

5. Текущая стоимость аннуитета.

Показывает стоимость равномерного потока платежей на сегодняшний день (). Первое поступление в этом потоке осуществляется в конце первого периода, а последующие – в конце каждого из последующих периодов.

Сложные проценты применяют в тех случаях, когда процент по кредитам (ссудам) выплачивают не сразу, а его присоединя­ют к сумме долга с последующим определением наращенной суммы FV. Такая процедура начисления «процент на процент» называется капитализацией. Наращение идет по сложному про­центу в геометрической прогрессии, а процесс компаудинга (на­копления) описывается уравнением FV= PV(1+i) n

В свя­зи с этим для расчета процентной суммы используется следую­щая формула:

где i - годовая ставка;

n - количество периодов начисления;

m - число периодов начисления;

n*m - общее число периода начисления.

Когда интервалы между очередными платежами постоянны, то такую последовательность называют финансовой рентой или аннуитетом. Аннуитет (серия равновеликих платежей в течение n-периодов) называется обычным, если платежи осуществляются в конце каждого периода, и авансовым, если платежи осуществ­ляются в начале каждого периода.

Первая функция сложного процента - аккумулированная сум­ма капитала. Мы уже убедились, что в отличие от простого про­цента сложный предполагает, что доход приносит не только пер­воначальная сумма, но и полученный ранее процент на нее. Для определения стоимости, которую будет иметь капитал через не­сколько лет FV при использовании процедуры сложных процен­тов, используют формулу, отражающую процесс аккумулирования (компаундинга), наращения в соответствии с геометрической про­грессией: FV= PV(1+i) n

где FV- аккумулированная (будущая) сумма капитала;

PV - текущая стоимость (стоимость инвестиций в начальный пери­од);

i - ставка процента (например, i = 0,10, т.е. 10%);

n - количество периодов начисления.

Эта формула в финансово-экономических расчетах и опреде­ляет первую функцию сложного процента, а выражение (1+i) n называется множителем (коэффициентом) наращения или буду­щей стоимостью единицы аккумулированного капитала F 1: F 1 =(1+i) n

где F 1 рассчитывается или определяется по таблице сложных процентов.

Таким образом, процесс аккумулирования депонированно­го, или инвестированного, капитала есть процесс накопления денег по заданной ставке i в течение определенного периода времени п.

При более частом, чем один раз в год, аккумулировании фак­тически полученный доход в конце года включает начисленные в году проценты. В связи с этим различают годовую номиналь­ную и годовую фактическую (эффективную) процентные ставки.

Годовая фактическая ставка - это годовая ставка, учитыва­ющая начисленные сложные проценты. Расчет годовой факти­ческой ставки ведется как процентное отношение дохода к ка­питалу в конце года, к величине капитала в начале года; в прак­тике фактическую ставку называют эффективной.

Вторая функция сложного процента - это будущая стоимость п-периодного аннуитета. Рассмотрим серию равновеликих и рав­номерных платежей (вкладов) под процент на определенное ко­личество периодов, при том что в каждом периоде производятся вклады капиталов (РМТ) одной и той же величины (серия вкла­дов - аннуитет). Этот поток платежей и есть аннуитет.

Наращенная сумма ренты (n-периодного аннуитета) пред­ставляет собой сумму всех членов ренты с начисленными на них процентами к концу ее срока.

Аннуитет называется обычным, если платежи осуществляются в конце каждого периода (рента пост- нумерандо), и авансовым, если платежи осуществляются в нача­ле каждого периода (рента пренумерандо).

Наращенная сумма рен­ты n-периодного аннуитета будет равна:

где (1 + i) n – 1/f = F 2 - вторая функция сложного процента.

В финансовых расчетах последнее выражение также называ­ют фактором фонда накопления или будущей стоимостью п- периодного аннуитета с платежом в одну денежную единицу (см. таблицу сложных процентов Инвуда).

В отличие от обычного аннуитета при авансовом аннуитете (пренумерандо) первый платеж осуществляется в начале перво­го периода, т. е. он приносит доход в течение всех n-периодов. Каждый последующий платеж работает на один период меньше, чем предыдущий, наконец, последний платеж приносит доход в течение только одного периода. Как и в случае обычного анну­итета, будущие стоимости каждого платежа образуют геометри­ческую прогрессию со знаменателем (1 + i), а первый член этой прогрессии - РМT(1 + i). Используя формулу расчета суммы и членов геометрической прогрессии, получим:

В этом случае фактор фонда накопления F 2 (будущая сто­имость авансового аннуитета с платежом в одну денежную еди­ницу) будет равен:

Третья функция сложного процента(обратная второй) - фак­тор фонда возмещения капитала. Из второй функции имеем:

Где i/(1+i) n –1 = F 3 - фактор фонда возмещения, третья функция сложного

процента.

Коэффициент F 3 показывает денежную сумму, которую не­обходимо вносить в конце каждого периода для того, чтобы че­рез определенное число периодов остаток на счете составил одну денежную единицу; причем данный фактор учитывает получае­мый по взносам процент.

Можно сравнить фактор фонда накопления F 2 и фактор фонда возмещения F 3 Видно, что функция F 3 при фиксированных n и i есть величина, обратная фактору фонда накопления F 2 т.е.

Сравнивая фактор фонда накопления (будущую стоимость авансового аннуитета с платежом в одну единицу) и фактор аван­сового фонда возмещения, получим соотношение:

Четвертая функция сложного процента (обратная первой) - это текущая стоимость будущего денежного потока, т.е. текущая стоимость денег (инвестиций), PV определится из выражения:

Где 1/ (1+i) n = F 4 - четвертая функция сложного процента, текущая стоимость будущей единицы.

Сравнивая полученную формулу с фактором первой функции, видим:

Процесс пересчета будущей стоимости денежной суммы (по­тока денег); FV в настоящую называется дисконтированием, а ставка, по которой осуществляется дисконтирование, часто на­зывают ставкой дисконта.

C по­мощью функции F. можно ответить на два вопроса:

1. Сколько будет стоить сегодня сумма, которую получит ин­вестор через л-периодов?

2. За сколько нужно купить объект (сколько нужно вложить в объект), чтобы в результате будущей его продажи через n-пе­риодов обеспечить требуемую норму дохода на?

Пятая функция сложного процента - это текущая стоимость аннуитета. Как и предыдущая, данная функция связана с про­цессом дисконтирования. Пятая функция определяет текущую стоимость серии равномерных равновеликих поступлений де­нежных средств в течение n-периодов с учетом заданной суммы. Современная величина потока платежей PV - это сумма всех его членов (аннуитетов), уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на конкретный момент времени. Текущая стоимость может быть обычного аннуитета или аван­сового n-периодного аннуитета

где PV - представляет собой сумму я членов геометрической прогрессии со знаменателем 1/1+i и первым членом PMT/1+c

Отсюда, пользуясь известной формулой суммы членов гео­метрической прогрессии, получим уравнение:

Где1 – (1+i) n / i= F 5 - пятая функция сложного процента, текущая стоимость " обычного аннуитета.

Авансовый аннуитет построен таким образом, что первый пла­теж РМТ 1 в потоке доходов производится немедленно, а последу­ющие платежи - через равные промежутки времени. Так как РМТ 1 производится в начальный момент времени, дисконтировать его не нужно. Последующий же я - 1 платеж и другие дисконтируют­ся с учетом того, что k-й платеж производится через k - 1 перио­дов от начального момента.

В данном случае сумма стоимости всех n-платежей - это

геометрическая прогрессия со знаменателем 1/1+i и первым чле­ном PMT.

Тогда текущая стоимость авансового аннуитета будет равна:

Если РМТ = 1, то получим выражение для фактора текущей стоимости авансового аннуитета F " 5:

Функции F 5 и F " 5 имеют особое значение в статистических расчетах, в оценке инвестиционных проектов, имущества, при­носящего доход.

Шестая функция сложного процента (обратная к 5-й) в прак­тике экономико-финансовых вычислений имеет название ипо­течная постоянная, или размер платежей для покрытия долга. По известной текущей стоимости (размеру кредита) определя­ется размер платежей:

Для PV = 1 получим значение взноса на амортизацию де­нежной единицы - это и есть шестая функция сложного про­цента - F 6 (ипотечная постоянная).

Для обычных взносов (рента постнумерандо) шестая функ­ция имеет вид:

Для авансовых взносов (рента пренумерандо) шестая функ­ция имеет вид:

Каждый равновеликий взнос РМТ включает сумму процент­ных денег I nt и уплату первоначальной суммы PRN - суммы основного долга: РМТ=PRN +I nt

Нужно подчеркнуть, что ипотечная постоянная функция F 6 связана с функцией F 3 следующим образом: F 6 =F 3 +i т.е. ипотечная постоянная - это взнос на амортизацию капита­ла, равный сумме фактора фонда возмещения F 3 и ставки про­цента на капитал i.

Равномерно-аннуитетный метод возврата основных средств (метод Инвуда). Платежи РМТ идут в конце периода равными долями с увели­чивающимися размерами PRN возврата основной суммы долга и с уменьшающимися начислениями процентов i - доходов.

Равномерно-прямолинейный метод (метод Ринга). Чистый операционный доход равномер­но снижается при постоянной норме возврата основного долга PRN, а доход I nt равномерно уменьшается. В отличие от метода Ринга метод Инвуда основан на том, что ипотечная постоянная равна сумме фактора фонда возмещения F 3 и ставки капитализации i.

Шестая функция сложного процента широко применяется в экономическом обосновании лизинговых операций.